% file = coriolis.tex
% -----------------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,12pt]{article} %12pt
\usepackage{amsmath}                 % ?? ongelmia ttm:n kanssa!
\usepackage{amssymb, latexsym}       % OK
%--------------------------
\usepackage[latin1]{inputenc}        % ?
\usepackage[T1]{fontenc}             % ?
\usepackage{eurosym}
%--------------------------
\usepackage[finnish]{babel}   % suomalainen tavutus + otsikointi & euro
%\usepackage{asymptote}        % kuvat
\usepackage{bm}               % matriisit / ISO 31-11
\usepackage{graphicx}         % grafiikka

\def\matheuro{\mbox{\euro}}
\def\md{\mathrm{d}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}

% \def\texhtml#1#2{#1}
% tth:\def\texhtml#1#2{#2}
% ttm:\def\texhtml#1#2{#2}

\oddsidemargin=1.65cm \evensidemargin=1.65cm \topmargin=0.35cm
\parindent=0pt
\textwidth=15.38cm \textheight=23cm \hoffset=-14mm \voffset=-5mm
\headheight=3.0mm \headsep=7mm
\def\normaalirivivali{\baselineskip=19.5pt}
\def\tihearivivali{\baselineskip=13.5pt}

%---------------------------------------------------------
\begin{document}
\section{Liike py\"{o}riv\"{a}ss\"{a} koordinaatistossa, Coriolisvoima}

Tarkastellaan kahta ortonormeerattua koordinaatistoa (kantaa) $E=\{\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\}$ ja $W=\{\vec{w}_x,\vec{w}_y,\vec{w}_z\}$, joilla on yhteinen origo, mutta $E$ pysyy paikallaan ja $W$ py\"{o}rii akselin $\vec{\omega}$ ymp\"{a}ri. Py\"{o}rimisakseli $\vec{\omega}$ pysyy paikallaan kummankin koordinaatiston suhteen! Tarkastellaan pistett\"{a} $P$, jonka paikkavektorilla on esitykset
\begin{eqnarray*}
  \vec{r}(t) &=&   x(t)\vec{e}_x
                 + y(t)\vec{e}_y
                 + z(t)\vec{e}_z
  \\
             &=&   \tilde{x}(t)\vec{w}_x
                 + \tilde{y}(t)\vec{w}_y
                 + \tilde{z}(t)\vec{w}_z
\end{eqnarray*}

\vskip1em
Kun pisteen $P$ nopeus m\"{a}\"{a}ritet\"{a}\"{a}n $E$-koordinaatistossa, saadaan
\[
   \vec{v}(t)
       = \frac{\md}{\md t}(x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y + z(t)\vec{e}_z)
       = x'(t)\vec{e}_x + y'(t)\vec{e}_y + z'(t)\vec{e}_z.
\]

\vskip1em
Kun $W$-koordinaatiston mukana py\"{o}riv\"{a} tarkkailija m\"{a}\"{a}ritt\"{a}\"{a} pisteen $P$ nopeusvektorin, niin tulos on
\[
   \vec{v}^{\,\star}(t)
              = \frac{\md}{\md t}(\tilde{x}(t)\vec{w}_x
                         + \tilde{y}(t)\vec{w}_y
                         + \tilde{z}(t)\vec{w}_z)
              = \tilde{x}'(t)\vec{w}_x
              + \tilde{y}'(t)\vec{w}_y
              + \tilde{z}'(t)\vec{w}_z.
\]

\vskip2em Edell\"{a} paikkavektorin $\vec{r}(t)$ esitykset kahdessa eri koordinaatistossa esittiv\"{a}t samaa vektoria. On eritt\"{a}in houkuttelevaa ajatella, ett\"{a} my\"{o}s $\vec{v}(t)$ ja $\vec{v}^{\,\star}(t)$ esitt\"{a}isiv\"{a}t samaa universaalia siirtymisnopeudeus-vektoria, mutta n\"{a}in ei ole! Asia paljastuu, kun $E$-koordinaatiston mukana paikallaan pysyv\"{a} tarkkailija m\"{a}\"{a}ritt\"{a}\"{a} pisteen $P$ nopeuden k\"{a}ytt\"{a}en $E^\star$ koordinaatiston esityst\"{a}, tulokseksi tulee
\begin{eqnarray*}
   \vec{v}(t)
   &=& \frac{\md}{\md t}\{\tilde{x}(t)\vec{w}_x
         + \tilde{y}(t)\vec{w}_y
         + \tilde{z}(t)\vec{w}_z\}
   %
   \\
   &=& \left(\frac{\md\tilde{x}(t)}{\md t}\vec{w}_x
                 + \tilde{x}(t)\frac{\md\vec{w}_x}{\md t}\right)
       + \left(\frac{\md\tilde{y}(t)}{\md t}\vec{w}_y
                 + \tilde{y}(t)\frac{\md\vec{w}_y}{\md t}\right)
       + \left(\frac{\md\tilde{z}(t)}{\md t}\vec{w}_z
                 + \tilde{z}(t)\frac{\md\vec{w}_z}{\md t}\right)
   %
   \\
   &=& \vec{v}^{\,\star}(t)
       + \tilde{x}(t)\vec{\omega}\times\vec{w}_x
       + \tilde{y}(t)\vec{\omega}\times\vec{w}_y
       + \tilde{z}(t)\vec{\omega}\times\vec{w}_z
   %
   \\
   &=& \vec{v}^{\,\star}(t) + \vec{\omega} \times \vec{r}(t)
\end{eqnarray*}

\vskip1em
Seuraavaksi $E$ koordinaatiston suhteen levossa oleva tarkkailija m\"{a}\"{a}ritt\"{a}\"{a} pisteen $P$ kiihtyvyysvektorin k\"{a}ytt\"{a}en $W$ koordinaatiston esityst\"{a}.
\begin{eqnarray*}
   \vec{a}(t)
   &=& \frac{\md}{\md t}(\vec{v}^{\,\star}(t) + \vec{\omega} \times \vec{r}(t))
   \\
   &=& \frac{\md}{\md t}\{\tilde{x}'(t)\vec{w}_x
         + \tilde{y}'(t)\vec{w}_y
         + \tilde{z}'(t)\vec{w}_z\}
       + \vec{\omega} \times \frac{\md\vec{r}(t)}{\md t}
   %
   \\[1em]
   &=& \left(\tilde{x}''(t)\vec{w}_x
                 + \tilde{x}'(t)\frac{\md\vec{w}_x}{\md t}\right)
       + \left(\tilde{y}''(t)\vec{w}_y
                 + \tilde{y}'(t)\frac{\md\vec{w}_y}{\md t}\right)
       + \left(\tilde{z}''(t)\vec{w}_z
                 + \tilde{z}'(t)\frac{\md\vec{w}_z}{\md t}\right)
    \\ && \mbox{\hspace{14em}}
       + \vec{\omega} \times (\vec{v}^{\,\star}(t) + \vec{\omega} \times \vec{r}(t))
    \\[1em]
    &=& \vec{a}^{\,\star}(t) +2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t) +\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})
   %
\end{eqnarray*}
Py\"{o}riv\"{a}n koordinaatiston mukana kulkeva tarkkailija puolestaan n\"{a}kee
asian siten, ett\"{a}
\[
  \vec{a}^{\,\star}
  =
  \vec{a}
  \overbrace{-\;2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t)}^{\mbox{Coriolis-termi}}
  \underbrace{-\;\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})}_{\mbox{keskihaku-termi}}
\]

\vskip1em Kaavan tyypilliset sovellusalueet ovat kappaleiden
liikkeet maapallon pinnalla. Jos esimerkiksi ammumme tykin ammuksen
paraabeliradalle Vaasasta kohden it\"{a}\"{a} ja unohdamme ilmanvastuksen,
niin periaatteessa ainoa voima, joka vaikuttaa ammukseen on
kohtisuorasti alasp\"{a}in vaikuttava voima eli ammuksen paino.
K\"{a}yt\"{a}nn\"{o}ss\"{a} ammuksen rata ei n\"{a}ytt\"{a}isi olevan aivan n\"{a}in
yksinkertainen.\\

Todellisuudessa me tarkkailemme ammuksen rataa niin, ett\"{a} itse
olemme mukana maapallon py\"{o}rimisliikkeess\"{a}. Edellisen kaavan mukaan
\[
  \vec{a}^{\,\star}
  =
  \vec{a}
    -2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t)
    -\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})
\]
miss\"{a} nyt $\vec{\omega}$ on maapallon py\"{o}rimisakseli (suunta
etel\"{a}st\"{a} pohjoiseen p\"{a}in), $\vec{a}$ osoitaa maapallon
keskipisteeseen ja $\vec{v}^{\,\star}$ osoittaa it\"{a}\"{a}n. \\

Kiihtyvyyden toinen termi,
$-2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t)$, osoittaa nyt yl\"{a}viistoon
oikealle. Kiihtyvyyden kolmas termi,
$-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$, osoittaa
kohtisuorasti poisp\"{a}in py\"{o}rimisakselista siis my\"{o}s yl\"{a}viistoon
oikealle. Jos siis t\"{a}ht\"{a}\"{a}mme paraabelirata-laskun perusteella, niin
ammumme oikealta yli.


\end{document}
