% file = kehanopeus.tex
% -----------------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,12pt]{article} %12pt
\usepackage{amsmath}                 % ?? ongelmia ttm:n kanssa!
\usepackage{amssymb, latexsym}       % OK
%--------------------------
\usepackage[latin1]{inputenc}        % ?
\usepackage[T1]{fontenc}             % ?
\usepackage{eurosym}
%--------------------------
\usepackage[finnish]{babel}   % suomalainen tavutus + otsikointi & euro
\usepackage{asymptote}        % kuvat
\usepackage{bm}               % matriisit/ ISO 31-11
\usepackage{graphicx}         % grafiikka

\def\matheuro{\mbox{\euro}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}

% \def\texhtml#1#2{#1}
% tth:\def\texhtml#1#2{#2}
% ttm:\def\texhtml#1#2{#2}

\oddsidemargin=1.65cm \evensidemargin=1.65cm \topmargin=0.35cm
\parindent=0pt
\textwidth=15.38cm \textheight=23cm \hoffset=-14mm \voffset=-5mm
\headheight=3.0mm \headsep=7mm
\def\normaalirivivali{\baselineskip=19.5pt}
\def\tihearivivali{\baselineskip=13.5pt}

%---------------------------------------------------------
\begin{document}
\section{Py\"{o}rimisen keh\"{a}nopeus}

\subsection{Py\"{o}riminen tasossa.}
Sijoitetaan seuraavassa vektorit $xyz$-koordinaatistoon, jonka koordinaattiakselien suuntavektorit ovat $\vec{i}$, $\vec{j}$ ja $\vec{k}$. Tarkastellaan ensin suuntajanaa $\overline{OP}$, origosta $xy$-tason pisteeseen $P$. Hetkell\"{a} $t=0$ pisteen $P$ koordinaatit ovat $P=(r\cos\alpha, r\sin\alpha)$. Siis pisteen $P$ paikkavektori alkuhetkell\"{a} on  
\[
  \vec{p} = r\cos\alpha\,\vec{i} + r\sin\alpha\,\vec{j}.
\]
%-------------------------------------------------------
\begin{center}
\begin{asy}
size(5cm,0);
//--koordinaatisto----------
pair z0=(0,0);
pair z1=(-50,-50);
pair z2=(120,0);
pair z3=(0,100);
draw(z0--z1,Arrow);
draw("$x$",(-51,-45),N);
draw("$\vec{i}$",(-30,-20));
draw(z0--z2,Arrow);
draw("$y$",z2,N);
draw("$\vec{j}$",(60,10));
draw(z0--z3,Arrow);
draw("$z$",z3,W);
draw("$\vec{k}$",(-10,60));
//--kiertava piste--------------
pair z4=(60,-25);
draw(z0--z4,Arrow);
draw("$\vec{p}$",(20,-20));
draw(z4,black+0.15cm);
draw("$P$",z4,S);
// --kulma alpha ---------------
draw((-7,-7)..(0,-8)..(10,-5));
draw("$\alpha$",(0,-15));
//--rata -----------------------
path c0 = (-100,0)..(-80,-60)..(-60,-80)..(0,-100)..(60,-80)..(80,-60)..(100,0)..(80,60)..(60,80)..(0,100)..(-60,80)..(-80,60)..cycle;
draw(yscale(0.3)*c0,dashed);
\end{asy}
\end{center}
%--------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------

Tarkastellaan liikett\"{a}, jossa suuntajanan origon puoleinen p\"{a}\"{a} pysyy paikallaan, mutta toinen p\"{a}\"{a} kiert\"{a}\"{a} origoa siten, ett\"{a} suuntajana py\"{o}rii kuin kellon viisari tasaisella kiertonopeudella. 
Jos suuntajana py\"{o}rii pituutensa s\"{a}ilytt\"{a}en origon ymp\"{a}ri kulmanopeudella $\omega$, niin silloin pisteen $P$ paikkavektori hetkell\"{a} $t$ on
\[
  \vec{p}(t) = r\cos(\alpha+\omega t)\vec{i} + r\sin(\alpha+\omega t)\vec{j}.
\]

Pisteen $P$ nopeus py\"{o}rimisliikkeess\"{a} on 
\begin{eqnarray*}
\vec{v} &=&\frac{\mathrm{d}\vec{p}(t)}{\mathrm{d}t}
    = \lim_{dt \to 0} \frac{\vec{p}(t+dt)-\vec{p}(t)}{dt}
    \\
    &=& \lim_{dt \to 0}
        \frac{(r\cos(\alpha+\omega(t+dt))\vec{i}+r\sin(\alpha+\omega(t+dt))\vec{j})
             -(r\cos(\alpha+\omega t)\vec{i}+r\sin(\alpha+\omega t)\vec{j})}
        {dt}
\end{eqnarray*}
Yksinkertaistetaan lauseketta merkinn\"{a}ll\"{a} $\alpha_t = \alpha + \omega t$ ja k\"{a}ytet\"{a}\"{a}n summakulman sinin ja kosinin kaavoja, jolloin saamme
\footnote{$\cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$ ja $\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$} (ks. taulukkokirja)
\begin{eqnarray*}
\vec{v} 
  &=& \lim_{dt \to 0}
      \frac{r[(\cos(\alpha_t+\omega dt)\vec{i}+\sin(\alpha_t+\omega dt)\vec{j})
           -(\cos(\alpha_t)\vec{i}+\sin(\alpha_t)\vec{j})]}
           {dt}
  \\
  &=& r \lim_{dt \to 0}
      \frac{[\cos{\alpha_t}\cos{\omega dt} - \sin\alpha_t \sin {\omega dt} - \cos\alpha_t]\vec{i} +
            [\sin\alpha_t\cos{\omega dt}+\cos\alpha_t\sin{\omega dt} - \sin\alpha_t]\vec{j}}
           {dt}
   \\
   &=&
   r \lim_{dt \to 0}
   \left\{
      \left[
         \cos\alpha_t \frac{\cos{\omega dt}-1}{dt}
         -\sin\alpha_t \frac{\sin{\omega dt}}{dt}
      \right]\vec{i} \dots
   \right.
   \\
   & &
   \left.
   \qquad\qquad \dots +
      \left[
         \sin\alpha_t \underbrace{\frac{\cos{\omega dt}-1}{dt}}_{\to 0}
         +\cos\alpha_t \underbrace{\frac{\sin{\omega dt}}{dt}}_{\to \omega}
      \right]\vec{j}
   \right\}
   \\
   &=&
   \omega r (-\sin\alpha_t + \cos\alpha_t)
\end{eqnarray*}

Suora lasku osoittaa, ett\"{a} $|\vec{v}(t)|=\omega r = \omega |\vec{p}(t)|$ ja $\vec{v}(t) \bot \vec{p}$. Lis\"{a}ksi on selv\"{a}\"{a}, ett\"{a} jos $\omega>0$, niin vektorit $\{\vec{k},\vec{p},\vec{v}\}$ muodostavat oikeak\"{a}tisen systeemin, joten 
\[
     \vec{v} = \omega \vec{k} \times \vec{p}.
\] 
Tulos on edell\"{a} johdettu oikeaoppisesti vektorifunktion derivaattana. Toisaalta tulos on helppo n\"{a}hd\"{a} koulufysiikan perusteella. Piste $P$ kiert\"{a}\"{a} ympyr\"{a}rataa origon ymp\"{a}ri. Ympyr\"{a}liikkeen keh\"{a}nopeus on $\omega r$ ja keh\"{a}nopeus on radan tangentin suuntainen. Siis kohtisuorassa suuntajanaa $\overline{OP}$ ja vektoria $\vec{k}$ vastaan. Kolmikon $\{\vec{k},\vec{p},\vec{v}\}$ oikeak\"{a}tisyys on my\"{o}s selv\"{a}. Siis
\[
     \vec{v} = \omega r \vec{k}\times \vec{p}^0 = \omega \vec{k} \times \vec{p}.
\]

Py\"{o}rimisakselina oli nyt $xyz$-koordinaatiston $z$-akseli, joka kulkee origon kautta ja on vetorin $\vec{k}$ suuntainen. Sovimme, ett\"{a} vektori $\vec{\omega}$ on pituudeltaan $\omega$ ja samansuuntainen py\"{o}rimisakselin $\vec{k}$ kanssa. (Muista oikean k\"{a}den s\"{a}\"{a}nt\"{o}: kun peukalo osoittaa py\"{o}rimisakselin $\vec{\omega}$ suuntaan, niin muut sormet osoittavat positiivisen kiertosuunnan akselin ymp\"{a}ri.) T\"{a}ll\"{a} merkinn\"{a}ll\"{a} keh\"{a}nopeus saa yksinkertaisen muodon
\[
   \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{p}.
\]

\subsection{Py\"{o}riminen akselin ymp\"{a}ri.}
Toiseksi tarkastelemme liikett\"{a}, joka syntyy kun piste $P$ kiert\"{a}\"{a} akselia (suoraa) $S$ ympyr\"{a}rataa akselia vastaan kohtisuolassa tasossa vakioet\"{a}isyydell\"{a} akselista. 
Olkoon yksikk\"{o}vektori $\vec{u}$ py\"{o}rimisakselin $S(P_0,\vec{u})$ suuntavektori. Kiinnit\"{a}mme tarkastelun ajaksi origon akselin pisteeseen $P_0$, jolloin pisteen $P$ paikkavektori on $\vec{p}=\overline{P_0P}$. Paikkavektori $\vec{p}$ voidaan jakaa akselin suuntaiseen komponettiin $\vec{b}$ ja akselia vastaan kohtisuoraan komponenttiin $\vec{c}$.
\[
  \vec{p}=\vec{b}+\vec{c}, \qquad \vec{b}\parallel\vec{u}, \qquad \vec{c}\bot\vec{u}
\]
%--------------------------------------------------------
\begin{center}
\begin{asy}
size(10cm,0);
//--koordinaatisto----------
pair z0=(0,0);
draw("$P_0$",z0,S);
pair z1=(-50,0);
pair z2=(180,0);
draw(z1--z2,Arrow);
draw("$S$",z2,SW);
//
draw((70,55)--(130,105)--(130,-55)--(70,-105)--cycle);
//draw((100,50)..(130,40)..(140,30)..(150,0)..(140,-30)..(130,-40)..(100,-50)..(70,-40)..(60,-30)..(50,0)..(60,30)..(70,40)..cycle,dashed);
draw((100,50)..(110,40)..(113.3,30)..(116.7,0)..(113.3,-30)..(110,-40)..(100,-50)..(90,-40)..(86.7,-30)..(83.3,0)..(86.7,30)..(90,40)..cycle,dashed);
//
draw((200,0)--(220,0),Arrow);
draw("$\vec{u}$",(210,0),S);
path c0 = (204,9)..(203,12)..(200,15)..(197,12)..(196,9)..(195,0)..(196,-9)..(197,-12)..(200,-15);
draw(c0,Arrow);
draw("$\omega$",(200,20));
draw("$\vec{\omega}=\omega\vec{u}$",(200,40));
//
pair z3=(100,50);
draw("$P$",z3,N);
draw(z0--z3,Arrow);
draw("$\vec{p}$",(50,40));
//
pair z4=(100,0);
draw(z0--z4,Arrow);
draw("$\vec{b}$",(50,0),S);
draw(z4--z3,Arrow);
draw("$\vec{c}$",(100,20),E);
\end{asy}
\end{center}
Kun piste $P$ kiert\"{a}\"{a} akselia, kiert\"{a}\"{a} $P$ ja vektori $\vec{c}$ akselin normaalitasossa. Edellisen luvun perusteella tied\"{a}mme, ett\"{a} pisteen $P$ nopeus on
\[
   \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{c} = \vec{\omega}\times\vec{p}.
\]
Viimeinen yht\"{a}suuruus perustuu siihen, ett\"{a} 
$\vec{\omega}\times\vec{p}=\vec{\omega}\times(\vec{b}+\vec{c})=
\vec{\omega}\times\vec{b}+\vec{\omega}\times\vec{c}= \vec{\omega}\times\vec{c}$.


\end{document}
