% file = matpaine.tex
% -----------------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,12pt]{article} %12pt
\usepackage{amsmath}                 % ?? ongelmia ttm:n kanssa!
\usepackage{amssymb, latexsym}       % OK
%--------------------------
\usepackage[latin1]{inputenc}        % ?
\usepackage[T1]{fontenc}             % ?
\usepackage{eurosym}
%--------------------------
\usepackage[finnish]{babel}   % suomalainen tavutus + otsikointi & euro
\usepackage{asymptote}        % kuvat
\usepackage{bm}               % matriisit / ISO 31-11
\usepackage{graphicx}         % grafiikka

\def\matheuro{\mbox{\euro}}
\def\md{\mathrm{d}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}


\oddsidemargin=1.65cm \evensidemargin=1.65cm \topmargin=0.35cm
\parindent=0pt
\textwidth=15.38cm \textheight=23cm \hoffset=-14mm \voffset=-5mm
\headheight=3.0mm \headsep=7mm
\def\normaalirivivali{\baselineskip=19.5pt}
\def\tihearivivali{\baselineskip=13.5pt}

%--------------------------------------------------------
\begin{document}
\section{Matalapaineen py\"{o}rimissuunta}

Tarkastellaan ilmamassojen liikett\"{a} matalapaineen keskuksen l\"{a}hell\"{a}
pohjoisella pallonpuoliskolla. Voimme kuvitella s\"{a}\"{a}karttaa, joka
kuvaa matalapainetta Pohjois-Euroopan yll\"{a}. Paine-ero synnytt\"{a}\"{a}
ilmamassoihin voimavaikutuksen, joka saa massat liikkumaan kohden
matalapaineen keskusta.\\

Merkit\"{a}\"{a}n lepokoordinaatistossa havaittua liikkeen kiihtyvyytt\"{a}
vektorilla $\vec{a}$ ja maapallon mukana py\"{o}riv\"{a}n koordinaatiston
suhteen mitattua nopeutta ja kiihtyvyytt\"{a} vektoreilla
$\vec{v}^{\,\star}$ ja $\vec{a}^{\,\star}$. Jos merkitsemme
maapallon py\"{o}rimisakselia vektorilla $\vec{\omega}$, niin 'oikean
k\"{a}den s\"{a}\"{a}nn\"{o}n' mukaan py\"{o}rimisakselin suunta on etel\"{a}navalta
pohjoisnavalle p\"{a}in. Py\"{o}riv\"{a}ss\"{a} koordinaatistossa ja lepokoordinaatistossa havaittuja
kiihtyvyyksi\"{a} sitoo kaava 
\[
  \vec{a}^{\,\star}
  =
  \vec{a}
  \overbrace{-\;2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t)}^{\mbox{Coriolis-termi}}
  \underbrace{-\;\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times
  \vec{r})}_{\mbox{keskihaku-termi}}.
\]

\vskip1em Right Hand Side'n ensimm\"{a}inen komponentti $\vec{a}$
osoittaa matalapaineen keskusta koh\-den. Kolmas komponentti
$-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$ osoittaa
kohtisuorasti poisp\"{a}in py\"{o}rimisakselista, mik\"{a} on varsin
luonnollista. Toisen komponentin
$-2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\,\star}(t)$ suunnan n\"{a}kee siten, ett\"{a}
asettaa peukalon vektorin $\vec{\omega}$ suuntaan (pohjoisella
pallonpuoliskolla se on likimain yl\"{o}sp\"{a}in). Seuraavaksi asetetaa
etusormi vektorin $\vec{v}^{\,\star}$ suuntaan, eli liikkeen
suuntaan. Nyt keskisormi osoittaa vektorin $\vec{\omega} \times
\vec{v}^{\,\star}$ suunnaksi liikesuuntaan n\"{a}hden vasemmalle, joten
$-2\vec{\omega} \times \vec{v}^{\,\star}$ osoittaa liikesuuntaan
n\"{a}hden oikealle. N\"{a}ytt\"{a}\"{a} siis silt\"{a}, kuin ilmamassat kokisivat
voiman, joka k\"{a}\"{a}nt\"{a}\"{a} niiden liikett\"{a} oikealle siit\"{a}, mik\"{a} tuntuisi
luonnolliselta.\\

Kun alussa eri suunnista kohden matalapaineen keskusta liikkeelle
l\"{a}hteneet ilmamassat k\"{a}\"{a}ntyv\"{a}t kukin suunnastaan oikealle, niin
lopputulos on se, ett\"{a} lopulta ilmamassat kiert\"{a}v\"{a}t matalapaineen
keskusta vastap\"{a}iv\"{a}\"{a}n kiert\"{a}en. Hitaasti keskittyv\"{a}ss\"{a} spiraalivaiheessa matalapaineen imu, coriolisvoimat ja ilmamassojen hitaus yhdess\"{a} pit\"{a}v\"{a}t spiraaliliikkeen vakaana ja matalapaineen keskuksen t\"{a}yttyminen kest\"{a}\"{a} useita vuorokausia.
%-------------------------------------------------------
\begin{center}
\begin{asy}
size(10cm,0);
//--rata -----------------------
path c0 = (-240,0)..(-220,-60)..(-200,-80)..(-140,-100)..(-80,-80)..(-60,-60)..(-40,0)..(-60,60)..(-80,80)..(-140,100)..(-200,80)..(-220,60)..cycle;
//
path c1 = (240,0)..(220,-60)..(200,-80)..(140,-100)..(80,-80)..(60,-60)..(40,0)..(60,60)..(80,80)..(140,100)..(200,80)..(220,60)..cycle;
//
draw(c0);
draw((-240,0){down}..(-220,-18)..(-200,-24)..(-140,-30)..(-80,-24)..(-60,-18)..(-40,0){up}, dashed);
draw((-140,90)--(-140,150),Arrow);
draw((-149,124)..(-152,123)..(-155,120)..(-152,117)..(-149,116)..(-140,115)..(-131,116)..(-128,117)..(-125,120),Arrow);
draw("$\vec{\omega}$",(-135,140),E);
//
draw("M",(-140,30));
draw((-140,-10)..(-140,0)..(-130,10),Arrow);
draw((-140,65)..(-145,55)..(-155,50),Arrow);
draw((-180,30)..(-170,30)..(-160,15),Arrow);
draw((-100,30)..(-110,30)..(-120,40),Arrow);
//
draw(c1);
draw((240,0){down}..(220,-18)..(200,-24)..(140,-30)..(80,-24)..(60,-18)..(40,0){up}, dashed);
draw((140,90)--(140,150),Arrow);
draw((131,124)..(128,123)..(125,120)..(128,117)..(131,116)..(140,115)..(149,116)..(152,117)..(155,120),Arrow);
draw("$\vec{\omega}$",(145,140),E);
//
draw("M",(140,30));
draw((165,30)..(160,45)..(155,50),Arrow);
draw((140,55)..(125,50)..(120,45),Arrow);
draw((115,30)..(120,15)..(125,10),Arrow);
draw((140,5)..(155,10)..(160,15),Arrow);
//
\end{asy}
\end{center}
%--------------------------------------------------------
\end{document}
