\documentclass[a4paper,12pt]{book}  %12pt
%\usepackage{fancyhdr}         % ? sivunumerointi
%\usepackage{amsmath}         % ?? ongelmia ttm:n kanssa!
\usepackage{amssymb, latexsym}% OK
%--------------------------
\usepackage[finnish]{babel}   % suom tavutus + otsikointi
\usepackage[utf8]{inputenc}   %\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage{ae,aecompl}       %\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[official]{eurosym}
\usepackage{icomma}
\usepackage{mathptmx}
%--------------------------otsikointi
\usepackage{bm}               % matriisit / ISO 31-11
\usepackage{graphicx}         % grafiikka
%--------------------------
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\QED{\hfill{}{$\square$}}
\def\e{\euro}
%--------------------------
\oddsidemargin=1.65cm \evensidemargin=1.65cm \topmargin=-1.00cm
%\topmargin=0.35cm
\parindent=0pt
\textwidth=15.38cm \textheight=25cm \hoffset=-14mm \voffset=-5mm
\baselineskip=16pt
%\textheight=23cm
\headheight=3.0mm \headsep=7mm
%\def\normaalirivivali{\baselineskip=19.5pt}
\def\normaalirivivali{\baselineskip=16pt}
\def\tihearivivali{\baselineskip=13.5pt}
\pagestyle{empty}
%---------------------------------------------------------
\begin{document}
Vaasan avoin yliopisto, kevät 2013  \\[0.5em]
{\Large\bf Talousmatematiikan perusteet}, ORMS1030
%
\begin{center}
{\bf 6. harjoitus}, (ti 29.1.2013)\\
\end{center}%




\vskip1em \noindent \textbf{1.} Laske integraalit
\[
  \mbox{a)}\quad
  \int{(3x^2-x)\mbox{d}x}\qquad
  \mbox{b)}\quad
  \int_1^4{(2x+1)\mbox{d}x}
\]

\vskip2em \noindent \textbf{2.} Yritys A valmistaa
sairaalatarvikkeita. Yritys laskee saavansa toiminnasta
nettotulovirran 10\,000\e/kuukausi. \\[0.5em]

Yritys B arvioi pystyv\"ans\"a parempien asiakaskontaktiensa avulla
parempaan tulokseen siten, ett\"a samalla tuotantokoneistolla se
saisi vakiotulovirran 15\,000 euroa kuukaudessa.

Alussa yritys B joutuisi tekem\"{a}\"{a}n 20\,000\e alku\-in\-ves\-toin\-nit
markkinointiin. Onko aja\-tel\-ta\-vis\-sa, ett\"a yritys A myisi
tuotantokoneistonsa yritykselle B ja miss\"a rajoissa myyntihinnan
pit\"aisi olla, kun yrityksen k\"aytt\"av\"at laskelmissaan
korkointensiteettej\"a $\rho_A = 0.12$ ja $\rho_B = 0.14$?


\vskip1em \noindent \textbf{3.} Er\"{a}\"{a}n tuotekorin osalta tiedet\"{a}\"{a}n
vuosien 2000 ja 2010 hinnat ja ostojen m\"{a}\"{a}r\"{a}t. 
Perusajankohta on nyt 2000 ja vertailuajankohta 2010
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|rrr|rrr|}
  \hline
         & \multicolumn{3}{c|}{2000} & \multicolumn{3}{c|}{2010} \\
   tuote & $p_0$ & $q_0$ & $\quad a_0$ & $p_t$ & $q_t$ & $\quad a_t$\\
  \hline
    1    &  15,00 & 100 & & 10,00  & 300 & \\
    2    &   8,00 & 500 & & 15,00  & 100 &\\
    3    &  30,00 &  20 & & 20,00  & 200 &\\
  \hline  
  \end{tabular}
\end{center}
a) Laske Laspeyres'in ja Paashenin hinta-indeksit.\\
b) Kerro sanallisesti, miksi indeksit eroavat niin paljon.




\vskip1em \noindent \textbf{4.} Ratkaise yht\"{a}l\"{o}ryhm\"{a}
\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcr}
     x & + &  y & = &  3 \\
    3x & + & 5y & = & 13
  \end{array}
\right.
\]

\vskip1em \noindent \textbf{5.} Ratkaise yht\"{a}l\"{o}ryhm\"{a}
\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcrcr}
    2x & + &  y &+& z &=& 3 \\
    4x & + & 5y &-&3z &=& 3 \\
     x & + & 2y &-&2z &=& 2
  \end{array}
\right. %
\]

\vskip1em \noindent \textbf{6.} Ratkaise yht\"{a}l\"{o}ryhm\"{a}
\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcr}
    2x & + &  y &=& 2 \\
    4x & + & 5y &=& 8 \\
     x & + & 2y &=& 3
  \end{array}
\right. %
\]


\vskip1em \noindent \textbf{7.} Etsi ainakin yksi ratkaisu
yht\"{a}l\"{o}ryhm\"{a}lle
\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcrcr}
     x & + & 2y &+& z &=& -1 \\
    3x & + & 5y &-&2z &=&  4
  \end{array}
\right. %
\]

\vskip1em Olkoon
$$
  \bm{A} = \pmatrix{ 1 & -2 &  0 \cr
                     2 &  3 & -1 \cr
                     0 &  0 &  1 }
  \mbox{~~~~}
  \bm{B} = \pmatrix{ 2 &  0 &  0 \cr
                     0 &  3 &  1 \cr
                     1 & -1 &  0 }
  \mbox{~~~~}
  \bm{C} = \pmatrix{ 5 &  2  \cr
                    -1 & -1  \cr
                     2 &  1  }
$$

\vskip1em \noindent \textbf{8.} Laske, jos lauseke on j\"arkev\"a.
(Huom kaikki lausekkeet eiv\"at nyt ole hyvin m\"a\"ariteltyj\"a!)
a) $\bm{A} + \bm{B}$,~~ %
b) $\bm{A} + \bm{C}$,~~ %
c) $\bm{B} + \bm{C}$

\vskip1em \noindent \textbf{9.} Laske, jos lauseke on j\"arkev\"a.
(Huom kaikki lausekkeet eiv\"at nyt ole hyvin m\"a\"ariteltyj\"a!)
a) $\bm{A}\bm{B}$,~~ %
b) $\bm{B}\bm{A}$,~~ %
c) $\bm{A}\bm{C}$,~~ %
d) $\bm{C}\bm{A}$,~~ %
e) $\bm{C}^{T}\bm{A}$
%h) det(${\mathbf C}$)

%\newpage
\vskip2em \noindent \textbf{10.} Tuotteiden A, B ja C
sis\"{a}\"{a}nostohinnat ovat
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  tuote  &   A  &   B  &   C  \\
  \hline
  hinta  & 2.50 & 0.50 & 1.00 \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}
Sijoitetaan vastaavat luvut matriisiin (hintavektori)
\[
   \bm{p} = \left(
                  \begin{array}{ccc}
                    2.5 & 0.5 & 1.0 \\
                  \end{array}
                \right).
\]
Yritykse kolme osastoa: myyntiosasto (M-os), valmistusosasto (V-os),
suunnitteluosasto (S-os) ja Helsingin toimisto (H-to) ostavat
tammikuussa tuotteita A, B ja C seuraavan taulukon mukaiset m\"{a}\"{a}r\"{a}t
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
  tuote & A  & B  & C  \\
  \hline
  M-os  & 20 & 30 &  0 \\
  V-os  & 10 & 50 & 20 \\
  S-os  &  0 & 10 & 40 \\
  H-to  & 30 & 10 & 10 \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}
Sijoitetaan n\"{a}m\"{a}kin luvut matriisiin (ostomatriisi)
\[
   \bm{D} = \left(
                  \begin{array}{ccc}
                     20 & 30 &  0 \\
                     10 & 50 & 20 \\
                      0 & 10 & 40 \\
                     30 & 10 & 10
                  \end{array}
                \right).
\]
a) Laske matriisilauseke $\bm{p}\bm{D}^T$. (Mit\"{a} edell\"{a} saadun vektorin koordinaatit merkitsev\"{a}t?)\\
%
b) Onko lauseke $\bm{p}\bm{D}$ j\"{a}rkev\"{a} (mik\"{a} sen arvo on)?\\
%
c) Onko lauseke $\bm{D}\bm{p}^T$ j\"{a}rkev\"{a} (mik\"{a} sen arvo on)?\\
%
d) Onko lauseke $\bm{D}\bm{p}$ j\"{a}rkev\"{a} (mik\"{a} sen arvo on)?

\vskip1em \noindent \textbf{Indeksikaavoja}
\begin{eqnarray*}
   \mbox{Laspeyres} & & \quad  
   P_{t_0;t}^{L}
   = \frac{\sum_i p_{t;i}q_{t_0;i}}{\sum_i p_{t_0;i}q_{t_0;i}} 
     \cdot 100, \qquad
   Q_{t_0;t}^{L}
   = \frac{\sum_i q_{t;i}p_{t_0;i}}{\sum_i q_{t_0;i}p_{t_0;i}} 
     \cdot 100 \\
   %
   &&  \\
   \mbox{Paaschen} & & \quad 
   P_{t_0;t}^{P}
   = \frac{\sum_i p_{t;i}q_{t;i}}{\sum_i p_{t_0;i}q_{t;i}} 
     \cdot 100, \qquad 
   Q_{t_0;t}^{P}    
   = \frac{\sum_i q_{t;i}p_{t;i}}{\sum_i q_{t_0;i}p_{t;i}} 
   \cdot 100 
\end{eqnarray*}


\end{document}
