\documentclass[a4paper,12pt]{book}  %12pt
%\usepackage{fancyhdr}         % ? sivunumerointi
%\usepackage{amsmath}         % ?? ongelmia ttm:n kanssa!
\usepackage{amssymb, latexsym}% OK
%--------------------------
\usepackage[finnish]{babel}   % suom tavutus + otsikointi
\usepackage[utf8]{inputenc}   %\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage{ae,aecompl}       %\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[official]{eurosym}
\usepackage{icomma}
\usepackage{mathptmx}
%--------------------------otsikointi
\usepackage{bm}               % matriisit / ISO 31-11
\usepackage{graphicx}         % grafiikka
%--------------------------
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\QED{\hfill{}{$\square$}}
\def\e{\euro}
%--------------------------
\oddsidemargin=1.65cm \evensidemargin=1.65cm \topmargin=-1.00cm
%\topmargin=0.35cm
\parindent=0pt
\textwidth=15.38cm \textheight=25cm \hoffset=-14mm \voffset=-5mm
\baselineskip=16pt
%\textheight=23cm
\headheight=3.0mm \headsep=7mm
%\def\normaalirivivali{\baselineskip=19.5pt}
\def\normaalirivivali{\baselineskip=16pt}
\def\tihearivivali{\baselineskip=13.5pt}
\pagestyle{empty}
%---------------------------------------------------------
\begin{document}
Vaasan avoin yliopisto, kevät 2013  \\[0.5em]
{\Large\bf Talousmatematiikan perusteet}, ORMS1030
%
\begin{center}
{\bf 7. harjoitus}, (ke 30.1.2013)\\
\end{center}%



\vskip1em \noindent \textbf{1.} Yritys valmistaa 
muoviraaka-aineesta kahta tuotetta A ja B. 
Tuotteen A valmistaminen vie aikaa 15min ja
raaka-ainetta 10kg. Tuotteen B valmistaminen 
vie aikaa 12min ja raaka-ainetta 15kg.  Raaka-ainetta 
on olemassa 2500 kg/viikko ja laitteisto, jolla tuotteita valmistetaan on k\"ayt\"oss\"a 40 tuntia viikossa. 
Yhden A-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa
5~euroa ja yhden B-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa 7~euroa. Mahdollisesti 
k\"aytt\"am\"att\"a j\"a\"anyt muoviraaka-aine 
voidaan myyd\"a hintaan 500~euroa/tonni.
M\"a\"arittele p\"a\"at\"osmuuttujat ja muodosta 
lp-malli myyntivoiton maksimoimiseksi. 
(\"Al\"a ratkaise mallia.)

\vskip2em \noindent \textbf{2.} Ratkaise graafisesti 
seuraava lp-malli
$$
  \begin{array}{lrcrcr}
   \mbox{max~}z = &  x_1 &+& 2x_2 & & \\
   \mbox{ehdoin~~}& 3x_1 &+&  x_2 &\leq& 45 \\
                  &  x_1 &+&  x_2 &\leq& 18 \\
                  &  x_1 &+& 4x_2 &\leq& 60 \\
      \multicolumn{4}{r}{x_1,x_2} &\geq& 0
  \end{array}
$$

\vskip1em \noindent \textbf{3.} Pienyritys valmistaa kahta tuotetta
1 ja 2, ja myy kaiken valmistamansa. Kumpaakin tuotetta
k\"asitell\"a\"an kolmella osastolla seuraavan taulukon mukaisesti.
%
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  \hline
        & \multicolumn{3}{c|}{tuotantoaika (tuntia)} \\
  tuote & os. A & os. B & os. C \\
  \hline
      1 &   4   &   2   &   8   \\
      2 &   4   &   4   &   4   \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{center}
%
Kullakin osastolla k\"aytett\"aviss\"a oleva ty\"ovoima on
rajallinen siten, ett\"a ty\"otunteja on osastoilla viikossa
k\"aytett\"aviss\"a seuraavasti
%
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|}
  \hline
  osasto & ty\"otunteja viikossa \\
  \hline
      A &  320  \\
      B &  240  \\
      C &  400  \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{center}
%
Kate (myyntitulo - valmistuskustannukset) yhdelt\"a
''1''-tuotteelta on 300\e ja kate yhdelt\"a ''2''-tuotteelta 500\e. \\
%
Muodosta LP-malli yrityksen kokonais\-katteen maksimoimiseksi. (\"{A}l\"{a}
ratkaise mallia.)

\newpage
\vskip1em \noindent \textbf{4.} Edellisess\"{a} teht\"{a}v\"{a}ss\"{a} yrityksen
ty\"{o}aika-resurssi on 960 tuntia/viikossa eli 24 ty\"{o}ntekij\"{a}\"{a}. a) Pohdi
seuraavaa kysymyst\"{a}: Jos yritykselle tarjoutuu mahdollisuus palkata
kaksi uutta ty\"{o}ntekij\"{a}\"{a}, niin miten t\"{a}m\"{a} uusi resurssi allokoidaan
(sijoitetaan) eri osastoille?\\
b) Pohdi seuraavaa kysymyst\"{a}: Jos samalla, kun saadaan kaksi uutta
ty\"{o}ntekij\"{a}\"{a}, on mahdollista kouluttaa vanhojakin ty\"{o}ntekij\"{o}it\"{a}, niin
miten ty\"{o}resurssi allokoidaan osastoille yrityksen voiton
maksimoimiseksi?

%\newpage
\vskip1em \noindent \textbf{5.} a) Piirr\"a 
seuraavan LP-mallin k\"ayp\"a alue.
$$
  \begin{array}{lrcrcr}
   \mbox{min~}z = &  x_1 &-& 5x_2 & & \\
   \mbox{ehdoin~~}& 2x_1 &+& 3x_2 &\leq& 60 \\
                  &  x_1 &+&  x_2 &\geq& 14 \\
                  &  x_1 &-& 2x_2 &\leq& 4 \\
                  & -x_1 &+&  x_2 &\leq& 10 \\
      \multicolumn{4}{r}{x_1,x_2} &\geq& 0
  \end{array}
$$
b) Ratkaise malli.

\vskip1em \noindent \textbf{6.}  a) Miten teht\"{a}v\"{a}n 5 optimiratkaisu
muuttuu, jos rajoitteisiin lis\"{a}t\"{a}\"{a}n uusi rajoite
\[
    x_1 + x_2 \geq 15
\]
b) Miten edellisen teht\"{a}v\"{a}n optimiratkaisu muuttuu, jos
rajoitteisiin lis\"{a}t\"{a}\"{a}n uusi rajoite
\[
    x_1 + x_2 \leq 10
\]

\end{document}
\newpage
\vskip2em\noindent \textbf{Kaavoja:}

\begin{eqnarray*}
   && \mbox{yksinkertainen korkolasku:} \\
%
   K_t &=& (1+it)K_0=(1+\frac{p}{100}t)K_0, \mbox{~kun~}0<t<1 \\[1em]
%
   && \mbox{koronkorkolasku:} \\
%
   K_t &=&(1+i)^t K_0, \mbox{~kun~}t=1,2,3,\dots \\[1em]
%
   && \mbox{jatkuva korkolasku:} \\
%
   K_t &=& (1+i)^t K_0 =  e^{\rho t}K_0, \mbox{~kun~}t>1\mbox{~ja~} (1+i) = e^\rho
%
\end{eqnarray*}

\vskip1em \noindent {\bf Jaksolliset suoritukset}
%
\begin{eqnarray*}
   \mbox{prolongointitekij\"{a}~} \;s_{n,i} &=& \frac{(1+i)^n-1}{i}\\
\mbox{~~~~~~}
   \mbox{diskonttaustekij\"{a}~} \;a_{n,i} &=& \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}\\
\mbox{~~~~~~}
   \mbox{kuoletuskerroin~}\;c_{n,i} &=& \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}
\end{eqnarray*}

{\bf Tasaer\"{a}laina ja osamaksukauppa}
%
\begin{eqnarray*}
   \mbox{annuiteetti~} \;k &=& c_{n,i}K_0 \\
\mbox{~~~~~~}
   \mbox{osamaksuer\"{a}~} \;k &=& c_{n,i}(H-h+m)
\end{eqnarray*}
\[
  \sum_{k=1}^{n}(a_1+(k-1)d) = n \cdot \frac{(a_1+a_n)}{2}, \qquad
  \sum_{k=1}^{n}a_1q^{k-1}   = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
\]
\end{document}
