Lineaarialgebra I (mathC1230), kurssin kuvaus

Rakennetyyppi:

Opintojakso

Tyyppi:

Pakollinen (VAMK ja VY TkK)

Ajankohta

Opinnon toteutukset, suunniteltu opiskeluvuosi ja lukukausi: 1. vuosi

Tavoitteet:

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, jota ei tavallisesti esitetä normaaleilla lukiokursseilla. Huomattava osa lineaarialgebraa käsittelee matriisien ja determinanttien ominaisuuksia. Lyhyesti sanoen, matriisin tavallisin esitys on lukukaavio, johon on kirjoitettu lukuja vaaka- ja pystyriveihin. Neliömatriisissa on yhtä monta vaaka- ja pystyriviä, ja jokaiselle neliömatriisille voidaan laske luku, jota sanotaan sen determinantiksi. Matriiseja ja determinantteja voidaan soveltaa mitä moninaisimmilla aloilla, mutta tässä kurssissa niitä sovelletaan lähinnä lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun. Opiskelija oppii matriisien ja determinanttien laskusäännöt, sekä ratkomaan niiden avulla lineaarisia yhtälöryhmiä. Matriiseihin läheisesti liittyvä käsite on vektori. Vektoreilla kuvataan sellaisia suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy myös suunta. Tällä kurssilla opiskelija oppii vektorilaskennan perusteet, sekä käyttämään vektoreita yksinkertaisten geometristen ongelmien ratkaisuun. Kurssi sisältää myös trigonometrian täydennysosan, sekä perustiedot kompleksiluvuista ja niiden osoitinesityksestä. Kurssin viimeisenä osana käsitellään epäyhtälöitä.

Sisältö:

Determinantti. Kaksirivinen determinantti. Yleinen n-rivinen determinantti. Determinantin kehittäminen annetun vaaka- tai pystyrivin suhteen. Determinanttien perusominaisuudet. Determinantin muokkaus. Lineaarisen yhtälötyhmän ratkaiseminen determinanttien avulla (Cramersin sääntö).

Matriisi. Tavallisimmat matriisityypit. Matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. Matriisien kertolasku. Neliömatriisin käänteismatriisi. Käänteismatriisin määrittäminen Cramersin säännöllä.

Lineaarisen yhtälöryhmän esittäminen matriisimuodossa. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu matriisien avulla.

Trigonometrian täydennys: Trigonometriset funktiot määriteltynä yksikköympyrän avulla. Radiaanin käsite. Trigonometristen funktioiden perusominaisuudet. Annetun kulman trigonometrisen funktion esittäminen yksikköympyrän ensimmäisessä neljänneksessä olevan kulman trigonometrisen funktion avulla. Kahden kulman summan ja erotuksen sini ja kosini. Kaksinkertaisen kulman sini ja kosini. Trigonometriset yhtälöt ja niiden ratkaisukaavat. Trigonometristen funktioiden kuvaajat.

Vektorin käsite. Vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. Kolmiulotteinen koordinaatisto. Vektorin esittäminen komponenttimuodossa karteesisessa koordinaatistossa. Kaksi pistettä yhdistävä vektori. Vektorin pituus ja kahden pisteen välinen etäisyys.

Pistetulo. Komponenttimuodossa kirjoitettujen vektoreiden pistetulon laskeminen. Vektoreiden välisen kulman laskeminen.

Ristitulo ja sen laskeminen komponenttimuodossa kirjoitettujen vektoreiden välillä. Ristitulon yhteys pinta-alan käsitteeseen.

Kompleksiluvut ja niiden laskusäännöt. Kompleksitaso. Kompleksiluvun osoitinesitys. Eulerin kaava imaginääriluvun eksponenttifunktiolle. Osoitinesityksessä kirjoitettujen kompleksilukujen kerto- ja jakolasku, sekä potenssiin korotus.

Epäyhtälöt: Ensimmäisen ja korkeamman asteen epäyhtälöt, sekä murtoepäyhtälöt. Epäyhtälön ratkaisu merkkikaavion avulla.

Oppimateriaalit:

S. Alestalo, P. Lehtola, T. Nieminen, A. Rantakaulio: Tekninen matematiikka 1, Tammertekniikka. Opettajan laatima materiaali.

Toteutustavat
Opetusmuoto / Opetusmenetelmät:

Luennot, harjoitukset

Suoritustavat:

Opetuskieli: suomi

Opiskelijan työmäärä:

54 h, josta lukujärjestykseen merkittyä lähiopetusta 28 h.

Arviointikriteerit:

Asteikko 1-5/hylätty.

• Arvosana 5: Opiskelija pystyy luovaan ongelmanratkaisuun lähes kaikissa opintojakson sisältöön liittyvissä tehtävissä.
• Arvosana 3: Opiskelija kykenee ratkaisemaan opintojakson keskeisiin sisältöihin liittyviä soveltavia tehtäviä.
• Arvosana 1: Opiskelija osaa ratkaista opintojakson keskeisiin sisältöihin liittyviä perustehtäviä.

Arviointimenetelmät:

Kotitehtävät, harjoitustyöt, tentti.

Opettajat

Vastuuopettaja (VAMK): Jarmo Mäkelä
Vastuuopettaja (VY): Seppo Hassi
Opettajatiimi: Matti Laaksonen

Lisätietoja:

Vastuuorganisaatio: VAMK
Vaasan yliopiston ja Vaasan ammattikorkeakoulun yhteistyökurssi

• Ilmoittautuminen. Ilmoittaudu kurssille WebOodin kautta. Ilmoittautuneet saavat kaikki kurssiin liittyvät ilmoitukset sähköpostin kautta. Jos ilmoittautumisessa on ongelmia, niin aloita silti opiskelu. Kurssimerkinnän saa jokainen kokeissa menestynyt ja kirjoilla oleva opiskelija.
• Harjoituspisteet. Harjoitusaktiivisuus vaikuttaa kurssiarvosteluun. Harjoituksen alussa merkitset rasteilla listaan ne laskut, jotka olet valmis esittämään muille. Samalla kun lasket viikkoharjoituksen laskua, mieti myös millaisin sanoin lasku selitetään. Ryhmätyö viikkoharjoitusten laskemisessa ei ole kiellettyä, vaan suositeltavaa. Samalla tulee harjoiteltua verbaalia puolta.
• Kurssin suorittaminen
  • Kurssin arvosanaan vaikuttavat tenttipisteet (n. 80%) ja laskuharjoitusten aktiivisuus (n. 20%)
    Kokeessa on viisi tehtävää, joista neljä tulee käsitellä. Maksimipistemäärä on 4x6p = 24p.
    Harjoituksista saatavissa oleva maksimipistemäärä on 6p.
    Läpipääsyraja on noin 12p.