Panos-tuotos-analyysi

Panos-tuotos-analyysi kehitettiin alunperin kansantaloutta silmällä pitäen. Silloin pyrittiin ennustamaan USA:n kansantalouden kehitystä. Ennusteet perustuivat edeltävinä vuosina USA:n kansantalouden rakenteesta kerättyihin tietoihin. Kävi ilmeiseksi, että vaikka kansantalouden tila muuttuisi nopeastikin, niin eräät sen rakennetta kuvaavat lukusuhteet muuttuvat silti hitaasti. Tämä antaa hyvän pohjan ennusteiden tekemiselle.

1950-luvun puolivälistä alkaen on mallia sovellettu yksittäisen yrityksen taloussuunnittelussa. Seuraavassa kuvataan juuri tällaista mikrotaloudellista sovellusta. Mallityyppi, jota käsitellään, on ns. Leontiefin avoin staattinen malli (kansantalouden sovellukset kehitti aikanaan amerikkalainen W. W. Leontief).

Mallin kohteena on yritys, joka jaetaan edelleen pienempiin alayksiköihin, joita kutsutaan seuraavassa osastoiksi. Se miten jako osastoihin suoritetaan, riippuu kulloisestakin yrityksestä. Seuraavassa oletamme osastojaon perustuvan siihen, että jokainen osasto tuottaa sille ominaista suoritetta. Suorite voi olla yrityksen myyntiohjelmaan kuuluva tuote, prosessissa edelleen jalostettava puolivalmiste tai prosessin ylläpitämiseen tarvittava energia tms. Kunkin osaston tuottama suorite voidaan käyttää kahdella eri tavalla:

• Se voidaan myydä yrityksen ulkopuolelle.
• Se voidaan käyttää muilla osastoilla tuotannontekijänä

Tarkastellaan seuraavassa esimerkkiyritystä, jossa on neljä osastoa, joista kukin tuottaa tiettyä suoritetta. Edellisen kauden tuotannosta ja sen jakautumisesta on käytettävissä seuraavat tiedot

Taulukon rivit ilmaisevat luovuttavan osaston tuotannon jakautumisen eri kohteisiin. Neljän ensimmäisen sarakkeen muodostamaa lukukaaviota merkitsemme matriisina

missä x_ij = se määrä osaston i tuottamasta suoritteesta, joka käytetään osaston j tuotannontekijänä. Esimerkiksi x₂₄ = 400 merkitsee, että osaston 2 suoritteista 400 yksikköä käytetään osaston 4 panoksina. Viides sarake sisältää kunkin osaston myyntiin menevän tuotannon. Merkitään myyntisaraketta sarakevektorilla

missä y_i = Osaston i myyntiin menevän suoritteen määrä. Viimeinen sarake sisältää osastojen kokonaistuotannot. Merkitään kokonaistuotantosaraketta sarakevektorilla

Kunkin osaston kokonaistuotanto on muille osastoille ja myyntiin menevien suoritemäärien summa.  Siis

Kukin osasto tarvitsee suoritteita tuottaessaan yrityksen ulkopuolelta hankittuja tuotannontekijöitä. Oletetaan, että esimerkkiyrityksemme on kuluneen kauden aikana läyttänyt näitä tuotannontekijöitä seuraavasti:

Merkitään taulukon neljän ensimmäisen sarakkeen muodostamaa lukukaaviota matriisina:

missä luku d_ij kertoo miten paljon tuotannontekijää i on kuluneen kauden aikana käytetty osastolla j. (Esimerkiksi d₅₂ = 900 kertoo, että työvoimaa 1 (rivi 5) on käytetty osastolla 2 (sarake 2) 900 yksikköä kuluneen kauden aikana. Huomaa, että D ei ole neliömatriisi, joten sen käänteismatriisi ei ole olemassa.) Tuotannontekijöiden kokonaiskulutusta (viimeinen sarake) merkitsemme sarakevektorilla

Silloin siis on voimassa .

Yritys on siis kuluneen kauden aikana tuottanut tietyn määrän suoritteita, joiden aikaansaamiseen on tarvittu sekä yrityksen ulkopuolelta hankittuja tuotannontekijöitä että kunkin osaston valmistamia tuotteita. Seuraavaksi pyrimme pyrimme lausumaan tarvittavien tuotannontekijöiden määrän valmistuneen tuotannon funktiona. Osaston   j kokonaistuotannon x_j aikaansaamiseksi osasto j tarvitsi x_ij yksikköä osaston i suoritetta. Panos-tuotos -mallissa oletetaan, että suhde a_ij = x_ij / x_j on vakio. Vakiota a_ij kutsutaan panoskertoimeksi, ja se osoittaa, miten monta oksikköä osasto j tarvitsee tuotannontekijöinä osaston i suoritetta voidakseen itse tuottaa yhden suoriteyksikön. Esimerkkiyrityksen panoskertoimet lasketaan seuraavasti

Vastaavasti osaston  j kokonaistuotannon x_j aikaansaamiseksi osasto j tarvitsi d_ij yksikköä yrityksen ulkopuolista tuotannontekijää  i. Panos-tuotos -mallissa oletetaan, että myös suhde

b_ij = d_ij / x_j

on vakio. Esimerkkiyrityksessä on
a₄₁ = x₄₁ / x₁ = 20/2000 = 0.01 ja  b₂₄ = d₂₄ / x₄ = 500/500 = 1.00

Kunkin osaston j kokonaistuotanto voidaan kirjoittaa

Kirjoittamalla kaikki yhtälöt auki, saadaan yhtälöryhmä

joka puolestaan voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

x = Ax + y
(I-A)x = y
x = (I-A)^-1y

Matriisiyhtälö avulla voimme ennakoida tulevan kauden kokonaistuotantoa osastoittain, kun tiedämme tuotannon rakenteen A, jonka oletamme vakioksi (tai ainakin hitaasti muuttuvaksi) ja myyntiennusteen y. Seuraavaksi tarkastelemme juuri tätä ideaa.

Tulevan kauden suunnittelua

Oletetaan, että yritys on kuluneilta kausilta pystynyt määrittelemään kunkin osaston kokonaistuotannon kulkeutumisen sekä muille osastoille että myyntiin. Näiden tietojen perusteella voidaan laskea panoskertoimet  a_ij ja b_ij. Oletetaan edelleen, että yrityksellä on tulevaa kautta varten laadittu myyntibudjetti y. Jos yrityksen tuotantoprosessissa ei ole tapahtunut suuria rakenteellisia muutoksia, niin edellä johdettu kaava  x = (I-A)^-1y   kuvaa myös tulevan kauden toimintaa. Sen avulla voimme laskea, miten suuri tulee kunkin osaston kokonaistuotannon olla, jotta yrityksen myyntitavoite y voidaan saavuttaa.

Esimerkki:
Kokonaistuotannon arviointi. Oletetaan, että edellä tarkastelemamme esimerkkiyritys on arvioinut seuraavan kauden myynnin seuraavaksi

Yrityksen tuotantoprosesseissa ja varastoissa ei oleteta tapahtuneen muutoksia, joten edellisen kauden perusteella voimme laskea panoskertoimet A = (a_ij) = (x_ij/x_j)

Mallin mukainen kokonaistuotantovaatimus myyntitavoitteen saavuttamiseksi on

Tuotetta 1 haluttiin alunperin tuottaa myyntiin 3200 kappaletta. Tämän määrän tuottaminen osastolla 1 ei kuitenkaan riitä, sillä osa tuotteen 1 kokonaistuotannosta kulkeutuu muille osastoille tuotannontekijäksi. Seuraava taulukko kuvaa osaston 1 tuotannon jakautumista eri kohteisiin

Edellä esiintynyt matriisi  saa nyt arvon

Tarkastellaan, kuinka monta suoriteyksikköä kunkin osaston on tuotettava, jotta osasto 1 voisi tuottaa myyntiin yhden yksikön verran enemmän kuin on suunniteltu. Myynnin lisäystä dy = (1 0 0 0)^T vastaava kokonaistuotannon muutos dx saadaan yhtälöstä

	(x + dx) = (I-A)-1(y + dy)
<=>	dx = (I-A)-1dy
<=>

 Havaitsemme, että vaadittavaa kokonaistuotannon lisäystä kullakin osastolla kuvaavat luvut ovat samat kuin matriisin (I-A)^-1 ensimmäisen sarakkeen alkiot. Matriisilla  (I-A)^-1, jota seuraavassa kutsutaan teknologiamatriisiksi, on siis seuraava konkreettinen tulkinta: Teknologiamatriisin sarakkeen j alkiot ilmoittavat, miten monta osaston i valmistamaa tuotetta osasto j tarvitsee voidakseen tuottaa myyntiin yhden tuoteyksikön.

Resurssitarpeiden arviointi. Seuraavaksi arvioimme tuotantoprosessissa tarvittavien yrityksen ulkopuolisten tuotannontekijöiden määrät. Edellisen kauden perusteella voimme laskea esimerkkiyrityksemme  panoskertoimet B = (b_ij) = (d_ij/x_j)

Yksittäisen tuotannontekijän i tarve on . Seuraava taulukko kuvaa osaston raaka-aineen B tarpeen jakautumista eri osastoille
 

Koko tarvevektori saadaan yhtälöryhmästä
 

<=>	d = Bx
<=>	d = B(I-A)-1y
<=>

 
 Tuotannontekijöiden tarve voidaan siis lausua suoraan myyntitavoitteen y perusteella. Myyntivektori kerrotaan tällöin matriisilla b = B(I-A)^-1. Lasketaan tämä matriisi

Matriisin alkioiden merkitys selviää parhaiten esimerkin avulla.
Arvioidaan, että osastolla 1 tuotettavaa suoritetta 1 arvioidaan saatavan kaupaksi 1 yksikön verran enemmän kuin alunperin oli budjetoitu. Myynnin lisäystä dy = (1 0 0 0)^T vastaava tuotannontekijöiden lisätarve  dd saadaan yhtälöstä

	(d + dd) = B(I-A)-1(y + dy)
<=>	dd = B(I-A)-1dy
<=>

Havaitsemme, että tuotannontekijöiden lisätarvetta kullakin osastolla kuvaavat luvut ovat samat kuin matriisin B(I-A)^-1 ensimmäisen sarakkeen alkiot. Matriisilla  B(I-A)^-1 on siis seuraava konkreettinen tulkinta:
Matriisin b = B(I-A)^-1 alkio b_ij ilmoittaa, miten monta yksikköä osasto j tarvitsee tuotannontekijää i voidakseen tuottaa myyntiin yhden suoriteyksikön. Siten esimerkiksi osasto 3 tarvitsee energiaa (neljättä tuotannontekijää) 4.36 yksikköä jokaista myyntiin tulevaa tuotetta kohti (b₄₃= 4.36).
 
Budjetin laatiminen. Kun tuotannon suuruus ja tuotannontekijöiden tarve tulevalle kaudelle on määritetty, on vuorossa budjetin laatiminen tulevalle toimintakaudelle. Tätä varten tarvitaan tuotannontekijöiden yksikköhinnat. Merkitään näitä vektorilla p, jonka alkiot p_i ilmoittavat tuotannontekijän i yksikköhinnan. Olkoon esimerkkiyrityksen tuotannontekijöiden hinnat p = ( 70  30  50  8  15  9)

(Huomaa, että p on nyt sovittu vaakavektoriksi.) Esimerkiksi alkiosta p₅ = 15 käy ilmi, että työvoima 1:n yksikköhinta on 15mk.

Tuotantoprosessissa käytettävien tuotannontekijöiden aiheuttamat kustannukset pyritään jakamaan tuotteille joko välittömästi tai välillisesti kustannuspaikkojen kautta. Tästä seuraa, että

Kustannuslajien yhteismäärä = tuotteille kohdistettavien kustannusten summa.

Merkitään myytävälle tuotteelle i kohdistettavaa yksikkökustannusta s_i:llä ja niistä muodostettua vaakavektoria s = ( s₁  s₂  s₃  s₄),

jota emme vielä tunne, mutta se selviää pian. Kustannuslajien yhteismäärä on

p₁d₁+p₂d₂+p₃d₃+p₄d₄+p₅d₅+p₆d₆ = pd = pB(I-A)^-1y

ja tuotteille kohdistettavien kustannusten summa on

s₁y₁+s₂y₂+s₃y₃+s₄y₄ = sy

Näiden kahden kustannussumman tulee olla yhtäsuuret. Siis

sy = pB(I-A)^-1y
<=>   s = pB(I-A)^-1 = pb

Yhtälöryhmä on selvä, kun kirjoitamme sen tuotetta j koskevan yhtälön

s_j = p₁b_1j+ p₂b_2j+ p₃b_3j+ p₄b_4j+ p₅b_5j+ p₆b_6j,

missä b_ij kertoo miten paljon tuotannontekijää  i tarvitaan kun valmistetaan yksi j -tuote. Siten yhteen j -tuotteeseen sisältyvä tuotannontekijästä i aiheutuva kustannus on p_ib_ij. Näiden erien summa on s_j.

Esimerkkiyrityksemme tuotteiden yksikkökustannukset ovat