Diskreetti matematiikka, kevät 2012

Harjoitus 2 (viikko 17)

1. Kuinka monella luvulla lukujen 100 000 ja 1 000 000 välillä on 10-järjestelmässä esitykset, joissa on vain numeroita 1, 2, ja/tai 3 ? Millä todennäköisyydellä em. ehdon täyttävässä luvussa esiintyy näitä kaikkia yksiköitä, mutta eri lukumäärät kutakin ?

2. Korttipakassa on 52 korttia, jotka jakautuvat neljään “maahan” (hertta, ruutu,

risti, pata). Kuhunkin maahan kuuluvat kortit on numeroitu 1,…,13.

a) Montako erilaista viiden kortin “pokerikättä” (viiden kortin osajoukkoa)

pakan korteista voidaan muodostaa?

b) Monellako tavalla korteista voidaan muodostaa viiden kortin “väri”, so. viiden kortin osajoukko, jonka kaikki kortit ovat keskenään samaa maata?

3. Olkoon A ={1, 2, 3, …,9}, B Ì A, |B| = 6. Osoita, että aina kun B täyttää edellä olevat ehdot, siinä on kaksi lukua, joiden summa on 10.

4. Joukosta, jossa on 10 kansanedustajaa ja 6 atk-asiantuntijaa, valitaan työryhmä suunnittelemaan hallinnon tietojärjestelmiä. Kukaan em. kansanedustajista ei ole atk-ammattilainen. Miten monella tavalla työryhmä voidaan muodostaa, kun siihen nimetään

a) 7-9 jäsentä, joista kansanedustajilla on yhden tai kahden paikan enemmistö ?

b) 9 jäsentä, joista vähintään 5 on kansanedustajia ?

c) 9 jäsentä, joista tasan 6 on kansanedustajia, mutta edustaja Emppusta ja suunnittelija Sumppusta ei voi valita samaan työryhmään ?

5. Miten monella tavalla voidaan tilata 9 leivosta pantavaksi tarjolle edellisessä tehtävässä asetetun toimikunnan kahvihetkellä, kun valittavana on mansikka-, omena- ja vadelmaleivoksia, ja

a) kutakin lajia tilataan ainakin yksi ?

b) tilataan tasan kaksi omenaleivosta ?

c) lähetti unohti annetut ohjeet ?

6. Luvut 1, 2, …, 10 ovat ympyrän kehällä jossakin järjestyksessä. Osoita, että olipa järjestys mikä tahansa, niin joidenkin kolmen vierekkäisen luvun summa on vähintään 17.