Määritä ratkaisujoukko (aste=2)

Ratkaise reaaliset juuret yhtälölle \(4x^2-5x+1=0\;\;\). Anna vastauksena ratkaisujoukko.

Ohje opiskelijalle

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;\) on syytä osata taulukoittakin.

Kun ratkaistaan perusmuodossa olevaa toisen asteen yhtälöä \(ax^2+bx+c=0\;\;\), niin ratkaisujen lukumäärän määrää Diskriminantin \(D=b^2-4ac\;\;\) merkki.

Jos \(a \neq 0\;\;\), niin on kolme vaihtoehtoa

• Jos \(D>0\;\;\), niin yhtälöllä on kaksi reaalista juurta, jotka saadaan ratkaisukaavalla \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2\cdot a}\;\;\).
• Jos <\(D=0\;\;\), niin yhtälöllä on yksi reaalijuuri. (Myöhemmillä kursseilla opitaan, että juuri on 'kaksinkertainen'. Yhtälöllä on siis yksi kaksinkertainen juuri.)
• Jos \(D<0\;\;\), niin yhtälöllä ei ole yhtään reaalista juurta. (Myöhemmillä kursseilla opitaan, että tässä tapauksessa yhtälöllä on kaksi 'kompleksista juurta'.)

Numeroesimerkki 1

Ratkaise yhtälö \(4x^2-12x+9=0\;\;\).

Voimme laskea diskriminantin, mutta se tulee laskettua sivutuloksena, kun sijoitamme kertoimet ratkaisukaavaan. Neliöjuuren sisään tulee diskriminantin lauseke. Jos juuren alle tulee negatiivinen luku, niin reaalijuuria ei ole. Jos juuren alle tulee 0, niin kaava antaa vain yhden arvon.

\[\begin{eqnarray*} 4x^2-12x+9&=&0 \\ \longrightarrow x &=& \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} = \frac{12\pm\sqrt{144-4 \cdot 36}}{8} = \frac{12\pm 0}{8} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}\]

Vastaus tehtävään on siis: {3/2}

Numeroesimerkki 2

\[\begin{eqnarray*} x^2-6x+5&=&0 \\ \longrightarrow x &=& \frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2} = \frac{6\pm 4}{2} \rightarrow x=5 \;\mbox{tai}\; x=1 \end{eqnarray*}\]

Vastaus tehtävään on siis: {5, 1}

Numeroesimerkki 3

\[\begin{eqnarray*} 2x^2-6x+5&=&0 \\ \longrightarrow x &=& \frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6\pm\sqrt{36-40}}{2} \rightarrow \mbox{ei reaalijuuria} \end{eqnarray*}\]

Vastaus tehtävään on siis: { }

Tehtävän kehityksestä

Tehtävässä eq2-01 kertoimet ovat tavallisia kokonais- ja murtolukuja. Vaihtelun aikaansaaminen ja toisaalta diskriminantin pysyminen kohtuullisena vaatii kompromissejä.

Kehitysaiheita:

• Todennäköinen tulema on se, että vaihtelua ei ole paljon, ja tehtävästä tulee tehdä ulkoisesti erilaisia variantteja.
• Tehtävästä tulee tehdä myös kompleksiluku-variantti

Ohje opettajalle

Tehtävässä eq2-01 yhtälön kertoimet ovat tavallisia kokonaislukuja. Vastaukseen ei tule hankalia juuri-lausekkeita. Tehtävässä pyydetään reaalijuuria, joten vastaus voi olla myös tyhjä joukko.