Itseisarvoyhtälö, RHS P1, Rj

Ratkaise yhtälö \(|2\cdot x - 6| = 4x-5\;\;\). Yhtälöllä 0, 1 tai 2 juurta.

kuva puuttuu

Ohje opiskelijalle

Yleinen tarkastelu

Yhtälö on nyt muotoa \[|ax+b|=cx+d\;\;\]. Nyt oletamme, että \(a \neq 0\;\;\), \(c \neq 0\;\;\) ja \(|a| \neq |c|\;\;\). Juurten lukumäärän suhteen on kolme vaihtoehtoa.

Yhtälön vasen puoli määrittelee funktion \(LHS(x)=|ax+b|\;\;\) ja oikea puoli määrittelee funktion \(RHS(x)=cx+d\;\;\). Funktion \(LHS(x)\;\) kuvaaja on ylöspäin avautuva V-kuvio, jonka kärki on kohdassa \(r=-b/a\;\) ja kylkien jyrkkyydet ovat \(\pm|a|\). Funktion \(RHS(x)\;\) kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on \(c\;\).

Juurten lukumäärä on 0, 1, 2 tai \(\infty\). Perustapauksia on viisi:

\(|c|>|a|.\;\) Suora on nyt jyrkempi kuin V:n kyljet, joten kuvaajat leikkaavat yhdessä pisteessä.
\(|c|=|a|.\;\) (Tätä tapausta ei tässä tehtävässä koskaan tule ratkaistavaksi) Nyt suora on V:n toisen kyljen suuntainen. Juuria on silloin 0, 1 tai \(\infty\).
\(|c|<|a|\;\) ja \(RHS(r)<0.\;\) Suora on nyt loivempi kuin V:n kyljet ja se sijaitsee kokonaan V:n alapuolella. Kuvaajat eivät leikkaa ja ratkaisujoukko on tyhjä.
\(|c|<|a|\;\) ja \(RHS(r)=0.\;\) Kuvaajilla on tasan yksi yhteinen piste kohdassa \(x=r\).
\(|c|<|a|\;\) ja \(RHS(r)>0.\;\) Loiva suora leikkaa nyt jyrkkäkylkisen V:n kahdessa pisteessä.

Yhtälön voi ratkaista korottamalle puolittain toiseen potenssiin, mutta syntyvän toisen asteen yhtälön ratkaisussa tarvittavien neliöjuurten ottaminen ilman laskinta saattaa olla nyt työlästä. Teemme siis seuraavasti:

\[\begin{alignat*}{3} |a \cdot x + b| &= c \cdot x + d& & & &\\ \Leftrightarrow (a \cdot x+b \geq 0\quad &\mbox{ja}\quad a \cdot x + b = c \cdot x + d)& \qquad&\mbox{tai}&\qquad (a \cdot x+b \leq 0\quad &\mbox{ja}\quad -a \cdot x - b = c \cdot x + d) \end{alignat*}\]

Analyysiä ei hyödytä nyt laajentaa. Kun kertoimille \(a,\dots,d\;\;\) annetaan arvot, niin edellä olleet kaksi epäyhtälöä ja kaksi yhtälöä ovat helposti tulkittavissa. Alla oleva numeroesimerkki valaisee asiaa.

Numeroesimerkki

Ratkaise yhtälö \(|2x+3| = 3x-1\).

\[\begin{alignat*}{3} |2x + 3| &= 3x - 1& & & &\\ \Leftrightarrow (2x+3 \geq 0\quad &\mbox{ja}\quad 2x+3 = 3x-1)& \qquad&\mbox{tai}&\qquad (2x+3 \leq 0\quad &\mbox{ja}\quad -2x-3 = 3x-1) \\ \Leftrightarrow (x \geq -3/2\quad &\mbox{ja}\quad -x = -4)& \qquad&\mbox{tai}&\qquad (x \leq -3/2\quad &\mbox{ja}\quad -5x = 2)\\ \Leftrightarrow (x \geq -3/2\quad &\mbox{ja}\quad x = 4)_{ok}& \qquad&\mbox{tai}&\qquad (x \leq -3/2\quad &\mbox{ja}\quad x = -2/5)_{nil} \end{alignat*}\]

Toinen juuri-ehdokas hylätään ja vastaus on \(x=4\).

STACK-tehtävän vastauskenttään kirjoitetaan {4}

Tehtävän kehityksestä

Tämä versio generoi yhtälöitä, joilla 0, 1 tai 2 ratkaisua. Tapaus, jossa juuria on ääretön määrä on mukana versiossa 03. Tämän rajoitteen puitteissa tehtävä pyritään tekemään mahdollisimman varioivaksi.

Ohje opettajalle

Tämä tehtävä-versio generoi yhtälöitä, joilla on yksi tai kaksi ratkaisua.