Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöryhmä

\[\left\{ \begin{array}{rcrcr} x &+& 2 \cdot y &=& -3 \\ 3 \cdot x &+& 4 \cdot y &=& -11 \end{array} \right. \]

Anna ratkaisu vastauskenttään listana (hakasuluissa pilkuilla erotettuina. Esim. [2, -3].

Ohje opiskelijalle

Ratkaistaan yhtälöryhmä

\[\left\{ \begin{array}{rcrcr} a \cdot x &+& b \cdot y &=& r_1 \\ c \cdot x &+& d \cdot y &=& r_2 \end{array} \right. \]

Jos jokin kertoimista \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\) tai \(d\;\) on nolla, niin yhtälöryhmä on käytännössä helppo ratkaista. Oletamme siis, että kaikki kertoimet eroavat nollasta. Ratkaisu voidaan nyt toteuttaa siten, että ensimmäinen yhtälö kerrotaan puolittain \(d\;\):lla ja toinen yhtälö kerrotaan puolittain \((−b)\;\):llä. Kun kerrotut yhtälöt summataan, syntyy yhtälö, jossa ei enää ole \(y\;\)-muuttujaa. Syntyvä yhtälö on \[(a \cdot d − b \cdot c)x = d \cdot r1 − b \cdot r2.\] Tämä yhtälö on helppo ratkaista. Sijoittamalla edellä saatu \(x\;\):n arvo alkuperäiseen yhtälöön, saadaan \(y\;\):n arvo. Jos edellä saadussa \(x\;\):n yhtälössä, muuttujan \(x\;\) kerroin on nolla, niin syntyy erikoistapaus, jota käsitellään lineaarialgebran kurssilla. Nyt testissä se tapaus ei koskaan tule esiin, eikä sen osaamista testata.

Numeroesimerkki

Ratkaistaan yhtälöryhmä \[\left\{ \begin{array}{rcrcr} 3 \cdot x &+& 4 \cdot y &=& 15 \\ x &+& 3 \cdot y &=& 10 \end{array} \right. \] Kerrotaan ensimmäinen yhtälö 3:lla ja kerrotaan toinen yhtälö \((−4\;\):llä. \[\left\{ \begin{array}{rcrcr} 3 \cdot3 \cdot x &+& 3 \cdot 4 \cdot y &=& 3 \cdot 15 \\ (-4) \cdot x &-& 4 \cdot 3 \cdot y &=& -4 \cdot 10 \\ \hline \mbox{yhteensä}\quad 5 \cdot x && &=& 5 \end{array} \right. \]

Kun saatu arvo \(x=1\;\) sijoitetaan toiseen yhtälöryhmän yhtälöistä, saadaan \[1+3 \cdot y = 10 \quad \longrightarrow y=3.\] Yhtälöryhmän ratkaisu on siis \(x=1\;\), \(y=3\;\).

STACK-tehtävän vastauskenttään kirjoitetaan Vastaus: [1, 3]

Tehtävän kehityksestä

Tehtävässä yryhma-01 kertoimet ovat kokonaislukuja. Yksikäsitteinen ratkaisu on aina olemassa ja ratkaisun arvot ovat kokonaislukuja.

Kehitysaiheita:

Tehtävän muuntelu

• Tämä on aihepiirin perustehtävä, joten muuntelua on vähemmän kuin muissa versioissa.
• Kertoimet vaihtuvat, mutta ovat positiivisa kokonaislukuja.
• Ryhmällä on aina ratkaisu.
• Muuttujat ovat aina samat.

Virhetyyppejä:

• Ilmoittaa, jos toisenkin muuttujan arvo on oikea.
• Ilmoittaa, jos toisenkin muuttujan arvo on merkkiä vaille oikea.

Kommentteja ja kehitysaiheita:

• Mikä on tavallisin laskuvirhe merkkivirheen ohella.

Kehitysaiheita versio2:een :

• Negatiiviset kertoimet. (Ovat hankalia tehtävän rungon tuottamisessa)

• Homogeeninen yr

Ohje opettajalle

Tehtävässä uva-testi-yryhma-01 yhtälöryhmän kertoimet ovat tavallisia kokonaislukuja. Myös ratkaisuarvot ovat kokonaislukuja. Vastaus annetaan listana [x, y].