Yksinkertainen itseisarvoepäyhtälö.

Ratkaise epäyhtälö

Ohje opiskelijalle

Yleinen tarkastelu

Ratkaistavana on itseisarvo-epäyhtälö \(|ax+b| \leq c\;\;\).

• Jos \(c < 0\;\;\), niin ratkaisujoukko on tyhjä, sillä \(|ax+b|\;\;\) ei voi olla pienempi kuin negatiivinen luku.
• Jos <\(c = 0\;\;\), niin ratkaisujoukko on \(\{-b/a\}\;\;\).
• Jos \(c > 0\;\;\), niin \[\begin{array}{crcccrl} && && |ax+b| &\leq& c& \\ &\Leftrightarrow&\quad -c &\leq& ax+b &\leq& c& \qquad|-b\\ &\Leftrightarrow&\quad -c-b &\leq& ax &\leq& c-b &\qquad |:a \end{array} \] Seuraavaksi kaikki termit jaetaan \(a\;\;\):lla. Silloin tulee muistaa, että jaettaessa puolittain negatiivisella luvulla erisuuruus merkit kääntyvät. Tässä tapauksessa (\(c > 0\;\;\)) sekä alaraja että yläraja ovat kumpikin äärellisiä lukuja.

Numeroesimerkki

Ratkaise itseisarvo-epäyhtälö \(|-4x-2| \leq 8\;\;\).

\[\begin{array}{crcccrl} && && |-4x-2| &\leq& 8& \\ &\Leftrightarrow&\quad -8 &\leq& -4x-2 &\leq& 8& \qquad|+2\\ &\Leftrightarrow&\quad -6 &\leq& -4x &\leq& 10 &\qquad |:(-4)\\ &\Leftrightarrow&\quad \frac{-6}{-4} &\geq& x &\geq& \frac{10}{-4} &\\ &\Leftrightarrow&\quad \frac{3}{2} &\geq& x &\geq& \frac{-5}{2}& \end{array} \] Ratkaisujoukko voidaan nyt ilmoittaa ehtona: \(-5/2 \leq x \leq 3/2\;\;\), tai välimerkintänä \(x \in [-5/2, 3/2]\;\;\).

STACK-tehtävän vastauskenttään kirjoitetaan: [-5/2, 3/2]}.

Yksinkertainen itseisarvoepäyhtälö.

Tehtävän erikoisuus on se, että vastaus annetaan eri tilanteissa eri tavoin. Jos ratkaisu on väli \(a \leq x \leq b\;\;\), niin vastauskenttään annetaan lista [a,b] ja jos vastaus on yksi luku niin vastaus annetaan joukkona {a}. Jos epäyhtälö on aina epätosi, niin vastaus on tyhjä joukko { }.

Teknisesti on mahdollista hyväksyä myös lista [a] tai [ ] vastaavan joukon sijasta. Onko näin syytä tehdä, vai onko opiskelijan opittava vastaamaan pyydetyllä tavalla?

Ohje opettajalle