Yksinkertainen raja-arvo

Määritä raja-arvo \(\lim_{x\to2}\frac{(x^2-4)(x^2+3x-5)}{x-2}\;\;\).

Ohje opiskelijalle

Rationaalilausekkeen raja-arvon lasku perustuu useimmiten siihen, että osoittajasta ja nimittäjästä erotetaan yhteinen tekijä, joka lähestyy nollaa rajankäynnissä. Kun yhteinen tekija supistetaan pois, niin vältetää '0/0'-tilanne.

Yleinen tarkastelu

Raja-arvon \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\;\;\) määrityksessä kannattaa toimia seuraavasti:

• Tee sijoitus, eli laske \(\frac{f(a)}{g(a)}\;\;\). Jos se onnistuu ongelmitta, eli \(g(a)\neq 0\;\;\), niin saatu arvo \(f(a)/g(a)\;\;\) on kysytty raja-arvo.
• Jos suora sijoitus ei toiminut, niin erota yhteinen tekija osoittajasta ja nimittäjästä. Palaa alkuun.
• Jos edeltävät keinot eivät auta, niin vielä on olemassa L'Hospitalin-sääntö, joka opitaan myöhemmin.

Tehtävän kehityksestä

Tehtävä on tyyppiä \(\lim_{x\to a}\frac{(x^2-a^2)(P(x))}{x-a}\;\;\). Vakio \(a\;\;\) arvotaan joukosta \(\{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5\}\;\;\). Tehtävässä ei ole merkittävää vaihtelua.

Tehtävä ei tutki vastauksen virheitä. Se ilmoittaa onko vastaus oikein ja väärän vastauksen tapauksessa kehoittaa tutkimaan mallivastausta ja pyytää yrittämään uudelleen. Tyypillisten virheiden etsintä tulee lisätä seuraavassa vaiheessa.

Ohje opettajalle

Tehtävässä on vain vähän vaihtelua, mutta tehtävä on niin kaavamainen, että sen ulkoa oppiminen ei ole paha asia.